Un sistema formal es un tipo de sistema
lógico-deductivo constituido por un lenguaje formal, una gramática formal que
restringe cuales son las expresiones correctamente formadas de dicho lenguaje y
las reglas de inferencia y un conjunto de axiomas que permite encontrar las
proposiciones derivables de dichos axiomas. Los sistemas formales también han
encontrado aplicación dentro de la informática, la teoría de la información, y
la estadística, para proporcionar una definición rigurosa del concepto de
demostración. La noción de sistema formal corresponde a una formalización
rigurosa y completa del concepto de sistema axiomático.
Llamamos formalización al acto de crear un sistema
formal, con la que pretendemos capturar y abstraer la esencia de determinadas
características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un
determinado lenguaje formal.
En matemáticas, las demostraciones formales pueden
expresarse en el lenguaje de los sistemas formales, consistentes en axiomas y
reglas de inferencia. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de
demostraciones formales. Este punto de vista de las matemáticas ha sido
denominado formalista; aunque en muchas ocasiones este término conlleva una
acepción peyorativa. En ese sentido David Hilbert creó la disciplina denominada
metamatemática dedicada al estudio de los sistemas formales, entendiendo que el
lenguaje utilizado para ello, denominado metalenguaje era distinto del lenguaje
del sistema formal que se pretendía estudiar. Con otra denominación, el
metalenguaje o lenguaje obtenido mediante la gramática formal se llama también,
en ocasiones, lenguaje objeto.
Un sistema así es la reducción de un lenguaje
formalizado a meros símbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido
material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediante
fórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las
reglas de formación y transformación que permiten construir las fórmulas del
sistema y pasar de una fórmula a otra.
El objetivo de un sistema formal es señalar como
válidas determinadas cadenas. Estas cadenas válidas se denominan teoremas. Para
obtener los teoremas se emplean las reglas de producción que convierten una
cadena en otra. Hay ciertos teoremas iniciales que no se obtienen de ninguna
regla, éstos son los axiomas que se suponen válidos por definición y se
convierten en el germen de producción de teoremas.
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